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2010年4月自考《高数(一)》串讲

20104月自考《高数(一)》串讲
 
全书内容可粗分为以下三大部分:
第一部分  函数极限与连续(包括级数)
第二部分  导数及其应用(包括多元函数)
第三部分 积分计算及其应用 (包括二重积分和方程)
第一部分  函数极限与连续
一、关于函数概念及特性的常见考试题型:
1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
 
二、  极限与连续
常见考试题型:
1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在, 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
 
每年必有的考点
 
第三部分  导数微分及其应用
常见考试题型:
1、导数的几何意义;
2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数:复合函数求导, 隐含数求导,参数方程求导;
4、讨论函数的单调性和凹凸性,求曲线的拐点;
5、求闭区间上连续函数的最值;
6、实际问题求最值。
 
每年必有的考点
第四部分  积分计算及应用
考试常见题型
1、不定积分的概念与计算;
2、定积分的计算;
3、定积分计算平面图形的面积;
4、定积分计算旋转体的体积;
5、无穷限反常积分
6、二重积分
7、微分方程
最近几年考题中,积分计算的题目较多, 而且也有一定的难度。
 
 
第一部分  函数极限与连续
一、关于函数概念及特性的常见考试题型:
1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
 
例1..函数y= 的定义域是___________.  2007.7
知识点:定义域
约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
 要使根式函数有意义必须满足 ,
要使 成立, 只有 ,即 .
注:我们所求定义域的函数一般都是初等函数,而初等函数:由基本初等函数,经过有限次的+-×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。
基本初等函数的性质与图形如下表所示( 表周期):

名称
表达式
定义域
图    形
特  性
 
 
 
 
 
 
 
有界,偶函数
 
 
 
 
 
随 而异,但在 上
均有定义
时在
单增;
时在
单减.
无界
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
单增.
单减.
.无界
 
 
 
 
 
单增.
单减.
无界
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
奇函数.
有界
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
偶函数.
有界
 
 
 
 
 
 
 
 
奇函数.
在每个周期
内单增,
无界
 
 
 
 
 
 
 
 
,
 
奇函数.
在每个周期
内单减.
无界
 
 
 
 
 
 
 
 
 
奇函数.
单增.
有界
 
 
 
 
 
 
 
单减.
有界
 
 
 
 
 
 
 
 
 
奇函数.
单增.
有界
 
 
 
 
 
 
 
 
单减.
有界

 
 
例2 求函数 的值域  2007.4
解:由 可知 ,所以 ,故 的值域为
 
3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为(      )
A.f (x)=   [0,1]                                 B.f (x)=   (-1,0)
C.f (x)=ex  (-∞,+∞)                                D.f (x)=lnx  (0,+∞)
 
知识点:函数的有界性
注:函数的有界性是指值域的有界性。
解:A ,故f (x)= 在[0,1]上为有界函数。
B. 故f (x)= 在(-1,0)上为无界函数。
CD结合函数图像判断。
 
4、设函数 是定义在 上的任意函数,证明:
(1)、 是偶函数
(2)、 是奇函数
 
知识点:奇偶性
若对于任何 ,恒有 成立,则称 是奇函数。若对于任何 ,恒有 成立,则称 是偶函数.
奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形关于y 轴对称
分析:因为 是定义在对称区间上,根据定义,只需证明:
(1)
(2)
只证(1):  偶函数。
5、求函数 的反函数. 07.10
知识点:反函数
求反函数的步骤是:先从函数 中解出 ,再置换 与 ,就得反函数 。
解:由  ,可得 ,所以 ,上式中 与 的记号互换,即得反函数为
6.1. 设f (x)=x3-x, ,则f [ ]=(     )
A.-2            B.          C.0         D.
2.  已知f(x+1)=x2,则f(x)=________.2009.10
知识点 :复合函数
解:1.
答案:C
2. 令  则 ,故由 可得 ,即 .
 
二、  极限与连续
常见考试题型:
1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在, 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
 
典型例题
求极限方法总结:利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等
例7.求 .
知识点: 若函数 在点 处连续,
   因为
故            
 
例8、
 
知识点:一般地,设 ,则
例9  ___________. 2007.7
 
10  (1)、  2008.1  (2)  2009.1
 
知识点:重要极限:
: (1)
因为 , 。
(2)  2009.1
例11.
知识点:重要极限  
解:
(4)
 
12.求极限(1)  (2)
 
知识点:利用等价无穷小代换求函数极限。
为无穷小, 且 , 则
:(1)因为
所以   
(2)因为 , , ,
所以
 
注:在使用等价无穷小代换时,应注意只能对乘除法代换,不能对加减法代换,即只对极限中的各个因式进行代换.
记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小
1、        导出 时,
2、        导出 时,
3、 ,   导出 时,
4、 ,     导出 时,
5、 ,   导出 时,
6、 ,  导出 时,
 
13(1)  09.7    (2)  09.4
(3)  07.4  (4)
知识点:  洛必达法则:使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式  、 .其它类型的未定式  ,  ,  可转化为分式型的未定式,从而可以用洛必达法则
:(1)  
(2)    
(3)       
 
(4)
 
14.求极限(1) . 2009.10  (2)  2007.1
知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合
解:
(1)  
(2)       
15 .设f(x)是连续函数,且f(0)=1,则 (   )2007.4
A.0                               B.          C.1              D.2
知识点:  变上限函数求导求极限
解: =
16.设函数f(x)= 在x=0点连续,则k=(   )2009.4
知识点:函数连续  ,则称函数 在点 处连续。
分段函数在分段点点 处连续 在点 处既左连续又右连续
解:因为 在点0处连续,
所以
 
17.函数  的间断点的个数为    【     】
(A) 0个      (B) 1个          (C) 2个          (D) 3个
知识点: 判断初等函数的间断点
…….
 
 
 

发布日期:2010-4-7

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